Логические элементы. Базовые схемы

От напряжения к логическим переменным

В цифровой схемотехнике непрерывные электрические сигналы дискретизируются по двум диапазонам напряжений:

Низкий потенциал (0 В .. 0,8 В) → Логический 0 (False / ЛОЖЬ).
Высокий потенциал (2,4 В .. 5,0 В) → Логическая 1 (True / ИСТИНА).

Математический фундамент анализа и проектирования таких цепей — булева алгебра (алгебра логики).

Функционально полный базис {НЕ, И, ИЛИ}

Любая вычислительная логическая функция произвольной сложности может быть синтезирована из трех элементарных вентилей:

Инвертор (НЕ / NOT): формирует противоположенный уровень сигнала.
Конъюнктор (И / AND): активен только при одновременной подаче всех единиц.
Дизъюнктор (ИЛИ / OR): формирует единицу при наличии единицы хотя бы на одном входе.

Инвертор (Логическое отрицание НЕ)

Y = ¬A = A̅

Единственный вход, единственный выход. В транзисторной реализации представляет собой базовый ключ: при подаче напряжения на базу/затвор выходной каскад шунтируется на землю.

Вход A	Выход Y
0	1
1	0

Конъюнктор (Логическое умножение И)

Y = A ∧ B = A · B

Эквивалент в электрической цепи: последовательное соединение двух разомкнутых контактов. Ток потечет только при замыкании обоих.

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнктор (Логическое сложение ИЛИ)

Y = A ∨ B = A + B

Эквивалент в электрической цепи: параллельное включение контактов. Ток в нагрузку пойдет, если замкнут хотя бы один из контактов.

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Универсальные вентили: И-НЕ и ИЛИ-НЕ

В полупроводниковой промышленности монолитные вентили NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ) технологически проще и быстрее, чем чистые И / ИЛИ.

Базис Шеффера (И-НЕ): Y = ¬(A ∧ B). Вентиль НЕ получается объединением входов.
Базис Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = ¬(A ∨ B).
По законам де Моргана через любой из этих элементов можно выразить весь базис {И, ИЛИ, НЕ}.

Понятие комбинационной схемы

Комбинационной схемой называется устройство, в котором логическое состояние выходов в любой момент времени однозначно задается набором входных сигналов.

В комбинационных схемах нет обратных связей и нет элементов памяти.
Таблица истинности полностью описывает функционал схемы.
Для схемы с $n$ входами таблица истинности содержит строго $2^n$ строк.

Синтез схемы: F = (A ∧ B̅) ∨ (B ∧ C)

Схема управляет узлом коммутации на основе трех условий A, B, C:

Вход B →

НЕ

→ Промежуточный узел X1 = B̅

Вход A + X1 →

И (1)

→ Промежуточный узел X2 = A ∧ B̅

Вход B + Вход C →

И (2)

→ Промежуточный узел X3 = B ∧ C

X2 + X3 →

ИЛИ

→ Выход F = X2 ∨ X3

Анализ таблицы истинности схемы

A	B	C	X1 = B̅	X2 = A∧X1	X3 = B∧C	F
0	0	0	1	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1
1	0	1	1	1	0	1
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	1	1

Типовая ошибка: потеря инверсии

Что произойдет, если проводник подключен ко входу B напрямую, минуя инвертор НЕ?

Ошибочное выражение: $F_{err} = (A \land B) \lor (B \land C) = B \land (A \lor C)$.
На наборе `A=1, B=0, C=0` эталон выдает 1, а поврежденная схема — 0!
Схема перестает реагировать на управляющий сигнал $A$ при нулевом значении шины $B$.

Самопроверка: вентиль XOR

Двухвходовый логический элемент «Исключающее ИЛИ» (XOR) описывается формулой:

Y = (A ∧ B̅) ∨ (A̅ ∧ B)

Вопрос: Чему равно выходное значение Y при комбинациях входных сигналов:

1) A = 1, B = 1 → ?
2) A = 1, B = 0 → ?

Подсказка: единичный уровень возникает только при несовпадении сигналов.

Самопроверка: закон де Моргана

Преобразуйте логическое выражение для инвертора Шеффера:

¬(A ∧ B) = ?

Вариант 1: ¬A ∧ ¬B
Вариант 2: ¬A ∨ ¬B

Правило де Моргана: Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний!

Резюме: от вентилей к микропроцессору

Логические вентили — элементарные кирпичики всех узлов ЭВМ.
Комбинация нескольких сотен вентилей образует сумматоры и компараторы.
Добавление обратной связи создает триггеры — ячейки статической памяти (SRAM).
Миллиарды таких транзисторных структур в кристалле кремния формируют современный процессор.

Схемотехнический юмор

Мем «Logic Gates» (веб-комикс xkcd #2497).
Автор: Randall Munroe. Источник: https://xkcd.com/2497/. Лицензия: CC BY-NC 2.5. Изменения: без изменений, встроен offline через data URI (Base64).