Формы представления чисел в ЭВМ. Кодирование текстовой и графической информации

Физический бит и логическая семантика данных

В аппаратных ячейках памяти и регистрах процессора физически хранятся только дискретные состояния 0 и 1.

Физический уровень

Триггеры SRAM, конденсаторы DRAM, флеш-ячейки.
Единица физической адресации памяти — 8-битный байт.
Аппаратные машинные слова: 16, 32, 64 бита.

Инвариант архитектуры

В ячейке памяти нет метаданных о типе данных.
Байт 11111111_2 — это:
• 255 (беззнаковое целое)
• -1 (знаковое в доп. коде)
• символ «я» в кодировке CP1251.
Тип определяется кодом исполняемой инструкции!

Целые числа без знака (Unsigned Integers)

В беззнаковом формате все разряды ячейки используются для представления абсолютного значения числа.

Формула диапазона значений n-битной сетки: [0; 2ⁿ - 1]

Разрядность	Байт	Десятичный диапазон	Шестнадцатеричный вид (HEX)
8 бит (байт)	1 байт	0 ... 255	`0x00 ... 0xFF`
16 бит (слово)	2 байта	0 ... 65 535	`0x0000 ... 0xFFFF`
32 бита (двойное слово)	4 байта	0 ... 4 294 967 295	`0x00000000 ... 0xFFFFFFFF`

Перенос из старшего разряда (2ⁿ) фиксируется аппаратным флагом CF (Carry Flag).

Числа со знаком: прямой, обратный и дополнительный коды

Старший (MSB) бит отводится под знак: 0 — плюс, 1 — минус.

Код	Принцип кодирования отрицательного числа -X	Проблема в архитектуре
Прямой	Знаковый бит 1, остальные биты — модуль \|X\|.	Два нуля (+0 и -0). Сложнейшая аппаратная схема вычитания.
Обратный	Знаковый бит 1, побитовая инверсия значащих бит.	Два нуля. Требует циклического переноса единицы.
Дополнительный	Обратный код + 1 к младшему разряду: [-X] = NOT(\|X\|) + 1.	Один нуль! Вычитание аппаратно заменяется суммированием.

Диапазон n-битного доп. кода: [-2^n-1; 2^n-1 - 1]. Для 8 бит: [-128; +127]. Вес старшего бита равен -128.

Аппаратное вычитание через сложение в АЛУ

В арифметико-логическом устройстве нет отдельного узла вычитания: операция A - B преобразуется в A + [-B]_доп.

Пример: вычислить 58 - 43 в 8-битном регистре: 1) |-43| = 43 = 00101101_2 2) Обратный код: 11010010_2 3) Дополнительный код: 11010010 + 1 = 11010011_2 (0xD3) 4) Сложение в сумматоре: 00111010_2 (+58) + 11010011_2 (-43 в доп. коде) ------------------------------ 1 00001101_2 (9-й бит переноса отбрасывается!) Регистр сохраняет 00001101_2 = +15_10. Проверка: 58 - 43 = 15.

Флаг знакового переполнения OF (Overflow Flag) фиксирует неверный знак результата при сложении однополярных чисел.

Вещественные числа и концепция плавающей точки

Целочисленные форматы с фиксированной точкой не могут охватить одновременно микромир (10^-10) и макромир (10²⁰).

Фиксированная точка

Положение запятой жестко закреплено.
Высокая скорость, узкий диапазон.
Используется в бухгалтерских расчетах (целое число копеек).

Плавающая точка

Экспоненциальная запись: X = ±M × 2^e.
Запятая перемещается («плавает») при нормализации.
Огромный динамический диапазон при фиксированной длине слова.

Стандарт IEEE 754: архитектура Single (32 бита)

32-битное машинное слово делится на три независимых поля:

31 30 23 22 0 +--+------------+----------------------------------------------------+ |S | E (8 бит) | M (23 бита) | +--+------------+----------------------------------------------------+ 1 Смещенный Дробная часть мантиссы бит порядок (без неявной единицы) знака (e + 127)

Знак S (1 бит): 0 — положительное число, 1 — отрицательное.
Порядок E (8 бит): смещенный показатель степени E = e + 127.
Мантисса M (23 бита): дробная часть после нормализации.

Смещение порядка +127 и неявная единица

Смещенный порядок (Bias = 127)

Истинный порядок e ∈ [-126; +127].
Прибавление 127 переводит диапазон в E ∈ [1; 254] (только беззнаковые числа).
Аппаратный выигрыш: целочисленный компаратор процессора сравнивает вещественные числа без декодирования знака степени!

Неявная единица (Implicit 1)

Любое двоичное нормализованное число начинается с единицы: 1.M × 2^e.
Хранить эту единицу в памяти бессмысленно.
Она не пишется в регистр, но восстанавливается FPU при расчетах. Точность мантиссы возрастает до 24 бит!

Специальные значения стандарта IEEE 754

Порядок E	Мантисса M	Значение	Смысл и поведение в архитектуре
E = 0	M = 0	±0	Положительный и отрицательный ноль (зависят от бита S).
E = 0	M ≠ 0	Денормализованное	Числа вблизи нуля: (-1)^S × (0.M) × 2^-126. Плавное исчезновение точности (underflow).
E = 255	M = 0	±∞	Бесконечность (деление на ноль, переполнение разрядной сетки).
E = 255	M ≠ 0	NaN (Not a Number)	Неопределенность: 0/0, √(-1), ∞ - ∞. Тихий (qNaN) и сигнальный (sNaN).

Пошаговый перевод в IEEE 754 на примере -13.5₁₀

Знак: число отрицательное ⇒ S = 1.
Двоичный модуль: 13₁₀ = 1101_2; 0.5₁₀ = 0.1_2 ⇒ 13.5₁₀ = 1101.1_2.
Нормализация: 1101.1_2 = 1.1011_2 × 2³ ⇒ e = 3.
Смещенный порядок: E = 3 + 127 = 130₁₀ = 10000010_2.
Мантисса (23 бита): отбрасываем «1.», значащие биты «1011» дополняем нулями справа:
10110000000000000000000.

S | E | M 1 | 10000010 | 1011 0000 0000 0000 0000 000 Двоичный: 1100 0001 0101 1000 0000 0000 0000 0000 HEX: 0xC1580000

Кодирование текста: от ASCII к кодовым страницам

Таблица ASCII (7 бит)

128 кодовых позиций (0x00 ... 0x7F).
Английский алфавит, цифры, знаки, 32 управляющих кода (CR, LF, TAB).
Младший байт хранит символ, старший бит = 0.

Проблема кодовых страниц

8-й бит дал вторую половину таблицы (0x80 ... 0xFF).
Для кириллицы созданы разные страницы: Windows-1251, KOI-8R, CP866.
Несовместимость вызвала «кракозябры» при передаче файлов.

Стандарт Unicode и архитектура кодировки UTF-8

Unicode присваивает каждому символу уникальный код (Code Point, например, U+0410 = «А»).

Коды Unicode	Длина	Битовый шаблон UTF-8	Что кодирует
`U+0000..U+007F`	1 байт	`0xxxxxxx`	Символы стандартного ASCII (совместимость 100%)
`U+0080..U+07FF`	2 байта	`110xxxxx 10xxxxxx`	Кириллица, греческий, арабский (каждая русская буква 2 байта!)
`U+0800..U+FFFF`	3 байта	`1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx`	Иероглифы (CJK), математические символы
`U+10000..10FFFF`	4 байта	`11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx`	Эмодзи, редкие исторические знаки

Кодирование растровой графики

Растровое изображение — двумерный массив дискретных пикселей (W × H).

Параметры растра

Разрешение: W × H (например, 16 × 16 = 256 точек).
Битовая глубина (b): бит на пиксель.
Число цветов: K = 2^b.

Глубина цвета в индустрии

b = 1: Монохром (2¹ = 2 цвета).
b = 4: 16 цветов (индексированная палитра).
b = 8: 256 цветов (палитра / градация серого).
b = 24: TrueColor (RGB 8:8:8, 16.7 млн цветов).
b = 32: RGBA (RGB + альфа-канал прозрачности).

Расчет объема видеопамяти и выравнивание строк

Формула сырого объема несжатого растра:
V_bits = W × H × b (бит), V_bytes = (W × H × b) / 8 (байт)

Пример для значка 16 × 16 (N = 256 пикселей):

Монохром (1 бит): 256 × 1 = 256 бит = 32 байта.
TrueColor 24 бита: 256 × 24 = 6144 бит = 768 байт.

Аппаратное выравнивание (Scanline Padding): В форматах типа BMP каждая строка обязана быть кратна 4 байтам (32 бита шины памяти), недостающие байты заполняются нулями.

Двоичная логика в жизни

Мем: There are 10 types of people in the world: those who understand binary, and those who do not

Атрибуция: Мем «Mathjoke (10 types of people in the world)». Автор: MjolnirPants (Wikimedia Commons). Источник: Wikimedia Commons (File:Mathjoke.jpg). Лицензия: Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International (CC BY-SA 4.0). Изменения: оптимизировано разрешение и конвертировано в автономный офлайн Data URI без изменения содержания.