Формы представления чисел в ЭВМ. Кодирование текстовой и графической информации

1. Аппаратный уровень: физическая ячейка и семантика данных

На физическом уровне память и регистры процессора представляют собой массивы двухстабильных полупроводниковых триггеров или конденсаторов. Физическое состояние «высокий потенциал / низкий потенциал» интерпретируется как двоичный бит (0 или 1). Однако сам по себе набор битов в аппаратной ячейке памяти не содержит никаких метаданных о своем типе.

2. Целые числа с фиксированной точкой (Fixed-Point Numbers)

В архитектуре процессоров числа с фиксированной точкой представлены преимущественно целыми числами, у которых двоичная запятая фиксирована после самого младшего разряда (разряда с весом $2^0 = 1$).

2.1. Беззнаковые целые числа (Unsigned Integers)

В беззнаковом формате все $n$ разрядов ячейки используются для представления абсолютного значения числа. Диапазон значений для $n$-битной разрядной сетки составляет:

$D_{\text{unsigned}} = [0;\, 2^n - 1]$

• 8 бит (байт): от $0$ до $255$ ($00_{16} \dots \text{FF}_{16}$).
• 16 бит (слово, Word): от $0$ до $65\,535$ ($0000_{16} \dots \text{FFFF}_{16}$).
• 32 бита (двойное слово, Dword): от $0$ до $4\,294\,967\,295$.
• 64 бита (четверное слово, Qword): от $0$ до $\approx 1.84 \times 10^{19}$.

2.2. Знаковые целые числа: прямой, обратный и дополнительный коды

Для представления отрицательных чисел старший (левый) бит разрядной сетки отводится под знак: 0 — положительное число, 1 — отрицательное число.

2.3. Алгоритм получения дополнительного кода на примере числа $-45_{10}$ (8 бит)

1. Записать абсолютное значение числа в двоичной 8-битной сетке:

   | -45 | = 45_10 = 32 + 8 + 4 + 1 = 00101101_2

2. Поразрядно инвертировать все биты (получить обратный код):

   NOT(00101101) = 11010010_2

3. Прибавить единицу к младшему разряду:

     11010010
   +        1
   ----------
     11010011_2 (0xD3)

4. Аппаратная проверка по весам разрядов:

   -128 + 64 + 16 + 2 + 1 = -128 + 83 = -45_10

3. Вещественные числа с плавающей точкой: стандарт IEEE 754

Вещественные числа в математике непрерывны и бесконечны. В дискретной разрядной сетке ЭВМ вещественные числа представляются в экспоненциальной (научной) форме с нормализацией:

$X = (-1)^S \times M \times 2^e$

где $S$ — знаковый бит, $M$ — мантисса (дробная часть), $e$ — истинный порядок (двоичный показатель степени). Общемировым стандартом представления чисел с плавающей точкой на уровне процессоров (FPU, SSE, AVX, ARM NEON) является IEEE 754.

3.1. Форматы одинарной (Single) и двойной (Double) точности

3.2. Архитектурная структура 32-битного числа IEEE 754 Single

 31 30        23 22                                                 0
+--+------------+----------------------------------------------------+
|S | E (8 бит)  |                  M (23 бита)                       |
+--+------------+----------------------------------------------------+
 1   смещенный                 дробная часть мантиссы
бит   порядок                   (без неявной единицы)
знака (e + 127)
        

3.3. Специальные значения стандарта IEEE 754

• Нуль ($\pm 0$): $E = 0$, $M = 0$. Знак $S=0$ дает $+0$, $S=1$ дает $-0$.
• Денормализованные числа: $E = 0$, $M \neq 0$. Значение: $(-1)^S \times (0.M) \times 2^{-126}$. Позволяют плавно снижать точность вблизи нуля (gradual underflow).
• Бесконечность ($\pm \infty$): $E = 255$ ($11111111_2$), $M = 0$. Возникает при делении ненулевого числа на ноль или при переполнении (overflow).
• Не-число (NaN — Not a Number): $E = 255$, $M \neq 0$. Возникает при неопределенных операциях ($0 / 0$, $\sqrt{-1}$, $\infty - \infty$). Различают тихий (qNaN) и сигнальный (sNaN).

3.4. Пошаговый алгоритм перевода числа $-13.5_{10}$ в IEEE 754 Single

1. Определить знак $S$: число отрицательное $\implies S = 1$.
2. Перевести абсолютную величину $13.5_{10}$ в двоичную дробь: Целая часть: $13_{10} = 8 + 4 + 1 = 1101_2$.
   Дробная часть: $0.5_{10} = 0.1_2$.
   Итого двоичное представление: $1101.1_2$.
3. Нормализовать двоичное число: Сдвигаем двоичную запятую влево так, чтобы слева осталась ровно одна единица:

   1101.1_2 = 1.1011_2 * 2^3

   Истинный порядок $e = 3$.
4. Вычислить смещенный порядок $E$:

   E = e + 127 = 3 + 127 = 130_10 = 10000010_2

5. Сформировать поле мантиссы (23 бита): Отбрасываем ведущую неявную единицу и запятую (`1.`), берем значащие биты `1011` и дополняем нулями справа до 23 разрядов:

   M = 1011 0000 0000 0000 0000 000_2

6. Собрать 32-битное слово и перевести в HEX:

     Бит 31: S = 1
     Биты 30..23: E = 10000010
     Биты 22..0:  M = 10110000000000000000000
     
     Двоичный вид: 1100 0001 0101 1000 0000 0000 0000 0000
     Шестнадцатеричный вид: 0xC1580000

4. Кодирование символьной и текстовой информации

Компьютер не оперирует буквами и знаками непосредственно — он хранит числовые коды символов, которые при выводе отображаются шрифтовым генератором в графические глифы.

4.1. Таблица ASCII и однобайтовые кодовые страницы

• ASCII (American Standard Code for Information Interchange): 7-битный стандарт (128 кодов, $00_{16} \dots 7F_{16}$). Содержит цифры 0-9, латинские буквы A-Z, a-z, базовые знаки пунктуации и 32 управляющих символа (CR, LF, TAB, NUL, ESC). В памяти выравнивается до 1 байта (старший бит равен 0).
• Расширенные 8-битные кодировки: 8-й бит позволил расширить диапазон до 256 кодов ($80_{16} \dots \text{FF}_{16}$). Вторая половина таблицы использовалась под национальные алфавиты. Для русского языка возникли несовместимые страницы: Windows-1251 (CP1251), KOI-8R, CP866 (DOS), ISO 8859-5. Текст, закодированный в одной кодовой странице и открытый в другой, превращался в нечитаемый набор символов («кракозябры»).

4.2. Стандарт Unicode и кодировка UTF-8

Стандарт Unicode присваивает каждому символу всех письменностей мира уникальный абстрактный номер — кодовую позицию (Code Point) в виде U+XXXX. Общее пространство адресов насчитывает $1\,114\,112$ кодовых позиций (17 плоскостей по $65\,536$ символов).

Для сохранения кодовых позиций в памяти и сетевых протоколах используются схемы трансформации (UTF — Unicode Transformation Format):

5. Кодирование графической информации

В современных вычислительных системах применяются два фундаментально различных подхода к цифровому кодированию визуальной информации: растровый и векторный.

5.1. Параметры растрового изображения

• Пространственное разрешение ($W \times H$): количество пикселей по горизонтали (ширина $W$) и по вертикали (высота $H$). Общее число пикселей $N = W \times H$.
• Битовая глубина цвета ($b$, bit depth): количество бит, выделяемое для кодирования цвета одного пикселя.
• Количество воспроизводимых цветов ($K$): связано с битовой глубиной формулой Хартли: $K = 2^b$.

5.2. Формула расчета объема несжатого растра

Информационный объем сырых несжатых пиксельных данных вычисляется по формуле:

$V_{\text{bits}} = W \times H \times b \quad \text{(бит)}$
$V_{\text{bytes}} = \dfrac{W \times H \times b}{8} \quad \text{(байт)}$

5.3. Аппаратное выравнивание строк растра (Scanline Alignment)

На уровне архитектуры памяти и контроллеров дисплея чтение данных происходит порциями по 32 бита (4 байта). В формате растровых файлов BMP (DIB) длина каждой горизонтальной строки пикселей обязана быть кратна 4 байтам.

Если строка пикселей занимает число байт, не кратное 4, в конец строки дописываются от 1 до 3 холостых нулевых байтов (padding):

Байт на строку = ((W * b + 31) / 32) * 4

Пример: Иконка $16 \times 16$ в монохроме ($b=1$).
Чистые данные: $16 \times 1 = 16$ бит = 2 байта на строку. Ближайшее кратное 4 число — 4 байта (добавляется 2 байта паддинга).
Полный объем массива пикселей в файле BMP составит $4 \times 16 = 64$ байта (вместо $32$ байт сырых данных).

6. Вопросы для самопроверки

1. Почему при вычитании в ЭВМ используется дополнительный код, а не прямой? Какое аппаратное преимущество это дает арифметико-логическому устройству?
2. Из каких трех полей состоит 32-битное число с плавающей точкой IEEE 754? Почему порядок хранится со смещением $+127$?
3. В чем заключается феномен неявной единицы (implicit leading bit) в мантиссе IEEE 754? Для каких чисел это правило перестает действовать?
4. Почему строка из 10 русских букв в кодировке Windows-1251 занимает 10 байт, а в кодировке UTF-8 — 20 байт? Как при этом кодируются английские буквы в UTF-8?
5. Как рассчитать объем видеопамяти для буфера экрана разрешением $1920 \times 1080$ пикселей в режиме 32 бит (RGBA)?

7. Предметное резюме